倪世杨 Z0019629
每个金工学生皆在学校学过BSM。这一划期间的公式不仅让期权产业富贵发展，更是大开了Q-quant全国的大门，让巨额理工科学子加入到金融行业。但金融毕竟不是工科、不是数学，鲜有种瓜得瓜种豆得豆的细则性；来去也不是显露靓丽的模子推导，没哪个变量不包含现实的杂音。实战里贫窭的是“灵验”，而“正确”仅在影响“灵验”的畛域内专诚想。带着这么的眼神，咱们再行推一遍BSM，望望哪些假定是不错领受的“恶浊的正确”，哪些是需要被调度的“精准的失误”。
本文分上中下两篇。上篇磋磨几何布朗通顺的上风与局限，并推崇其三种状貌对应的直观融会。 中篇胪陈Black-Scholes Equation推导经过，沟通作念空完结、来去摩擦怎么影响该模子推导。下篇从BSM Equations推导至BSM Formula，用庸碌的言语证明Risk-neutral的含义。本文接力将数学言语落实到直观上，让未构兵过金工学问但有一定统计基础的同业们也能看懂BSM的推导，从而参与到对模子逻辑的想考当中来。
GBM的上风与局限
Geometric Brownian Motion(几何布朗通顺)是描摹股价变动最简单的模子。它说了这么一个故事：捏有一支股票，下一秒的本钱利得既有细则性，也有立时性。用标记写出来，这个模子就看起来fancy许多：
部分是股票价钱的细则性变动。比如咱们以为中海油股票价钱每年固定能涨10%，刻下中海油价钱是100元/股，那捏有1秒的细则性收益就是
是立时部分，个慑服正态散布的立时变量，均值为0，圭表差为
。假如中海油的年化波动率为20%，那1秒内立时部分的圭表差为
也就是说有95%的概率立时部分实足值小于0.6%。
波多野结衣作品全集股价变动真能拆成细则性+立时性部分么？往深了说这是个意志论问题，可能也恒久莫得东谈主能知谈谜底。股价变动不错被看作念细则性+立时性之和吗？这个模子似乎实足无邪，经过微调后能证明好多繁盛。比如
- 圭表化收益的正态散布特征：日度的本钱利得除以日度波动率，所得散布基本是正态的
- 跟着本领窗口变窄，波动比趋势要衰减得慢得多：不雅察窗口越短，立时波动幅度的衰降速率远不如细则性收益，这和咱们残忍“不要频频作念短线”的直观相符
- 收益肥尾散布的特征不错通过在
上施加自相干性获取。
既然这个模子能证明些事情，状貌上又简单，那不妨先用着。这或许才是用GBM来模拟财富价钱的确切原理。
GBM也有它的局限。最贫窭有以下两点
1. 最贫窭的是它无法模拟跳空，因此用GBM来模拟财富价钱会严重低估跳空风险。
2. 它忽略了流动性风险。简直通盘模子皆假定了世上存在一种东西叫“及时价钱”。事实上投资者能拿到的独一当下的盘口，而盘口皆有点差。因此包括GBM在内的简直通盘模子皆忽略了流动性风险，这在来去十分频频时会低估滑点，在波动顶点时会低估市集风险。
GBM的三种状貌
GBM有三种状貌：
界说由直观而来，为的是抒发“短期本钱利得由细则性和立时性部分构成”这一不雅点。
界说到认识解靠猜。这一步属于解偏微分方程，本色上就是靠猜出来的。
认识解到log收益率状貌靠求导，这里要用到伊藤引理。dlogst履行上是在问，本领t往前走一小段dt，logst会变化几许。这十分于要求出
，再乘上dt即可。正式到logst是st的函数，而st又是t的函数，用心的读者可能很容易猜想高中学过的“复合函数求导”。事实确乎如斯，仅仅由于st与t的函数关系里包含着立时性，“复合函数求导”的公式得变一变，这就是伊藤引理。
我以为log收益率状貌是融会GBM最直观的状貌。这个状貌的含义是“股票在短期内的log收益率慑服正态散布”。短期内的log收益率不错访佛融会为“收益率”，是以这个状貌是在说“股票短期的收益率慑服正态散布”。这就很有模子检朴的滋味了。“正态散布”的假定并莫得听上去完结性那么强，因为波动率自身不错或然序结构，以致也不错是立时经过，这么股票短期的收益率仅仅条目正态散布，其非条目散布则会非常无邪，实足承载实战里的复杂性。
Log收益率该怎么融会
由log收益率状貌不错平缓获取认识解，把dlogst累加就行。Log收益的妙处便在于其严格可加性。正常咱们谈涨幅，算的皆是简单收益率。比如中海油从100涨到130，简单收益率等于30%。简单收益率的问题是并非严格可加的。从100涨到130是30%，从130涨到150是15%，然而从100到150是50%，并非30%+15%=45%。
那有莫得主义界说一种收益率是严格可加的呢？log收益率就是。从100涨到130的log收益率是log(130/100)，从130到150是log(150/130)，而从100到150是log(150/100) = log(130/100) + log(150/130)，严格可加。
Log收益率的污点是不够直不雅：诚然它不错被证明呈“结总共息对应的年化收益率”，但现实里没什么东西是信得过“结总共息”的 。我以为log收益率更好的融会款式是它就是另一版块的“收益率”。说到底收益率是个东谈主为界说的见地，收益自身才是客不雅存在的。既然如斯，那我就能界说多样算法的“收益率”，只须策画成果能被到手收复成收益即可。